已知橢圓C中心在原點、焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點的最大值為3，最小值為1．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N（M、N不是左、右頂點），且以MN為直徑的圓經過橢圓的右頂點A．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．
【答案】分析：（Ⅰ）由題設條件可知解得，由此能夠推導出橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）由方程組消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，然后結合題設條件利用根的判別式和根與系數(shù)的關系求解．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓的長半軸為a，半焦距為c，
則解得
∴橢圓C的標準方程為．
（Ⅱ）由方程組消去y，
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0
由題意：△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0
整理得：3+4k2-m2＞0 ①
設M（x1，y1）、N（x2，y2），
則，
由已知，AM⊥AN，且橢圓的右頂點為A（2，0）
∴（x1-2）（x2-2）+y1y2=0
即（1+k2）x1x2+（km-2）（x1+x2）+m2+4=0
也即
整理得：7m2+16mk+4k2=0
解得：m=-2k或，均滿足①
當m=-2k時，直線l的方程為y=kx-2k，過定點（2，0），舍去
當時，直線l的方程為，過定點，
故直線l過定點，且定點的坐標為．
點評：本題綜合考查橢圓的性質及應用和直線與橢圓的位置關系，具有較大的難度，解題時要注意的靈活運用．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C中心在原點、焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點的最大值為3，最小值為1．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N（M、N不是左、右頂點），且以MN為直徑的圓經過橢圓的右頂點A．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，短軸長為2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N（M、N不是橢圓的左、右頂點），且以MN為直徑的圓經過橢圓的右頂點A．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C中心在原點，焦點在坐標軸上，直線y=
3
2
x與橢圓C在第一象限內的交點是M，點M在x軸上的射影恰好是橢圓C的右焦點F2，橢圓C另一個焦點是F1，且
MF1
•
MF2
=
9
4
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l過點（-1，0），且與橢圓C交于P，Q兩點，求△F2PQ的內切圓面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C中心在原點，焦點在x軸上．若橢圓上的點A（1，
3
2
）到焦點F1，F(xiàn)2兩點的距離之和等于4．
（1）寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）過點P（1，
1
4
）的直線與橢圓交于兩點D、E，若|DP|=|PE|，求直線DE的方程；
（3）過點Q（1，0）的直線與橢圓交于兩點M、N，若△OMN面積取得最大值，求直線MN的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C中心在原點，一個焦點為F（-2，0），且長軸長與短軸長的比是2：
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在斜率為
3
2
的直線l，使直線l與橢圓C有公共點，且原點O與直線l的距離等于4；若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．

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