Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=

x2+1，x∈[0，1) 1-x2，x∈[-1，0)

且f（x）=f（x+2），函數(shù)g（x））的表達(dá)式為g（x）=

x+3

x+2

，則方程g（x）=f（x）在區(qū)間[-5，1]上的所有實(shí)數(shù)根之和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，從而討論每一段上的函數(shù)值，從而求方程g（x）=f（x）的解．

解答： 解：由題意，當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=f（-1）=0，g（1）=

4

3

；
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，x²+1=

x+3

x+2

，
即（x+1）（x²+x-1）=0，
解得x=

-1+ 5

2

；
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，f（x）＜1，
g（x）＞1，無(wú)解；
當(dāng)-2＜x＜-1時(shí)，f（x）＜2，
g（x）＞2，無(wú)解；
當(dāng)-3≤x＜-2時(shí)，f（x）＞0，
g（x）＜0，無(wú)解；
當(dāng)-4≤x＜-3時(shí)，f（x）=f（x+4）=（x+4）²+1＞1，
g（x）＜1，無(wú)解；
當(dāng)-5≤x＜-4時(shí)，f（x）=f（x+4）=1-（x+4）²＜1，
g（x）＜1，
則1-（x+4）²=

x+3

x+2

，
解得x=

-7- 5

2

；
則

-7- 5

2

+

-1+ 5

2

=-4；
故答案為：-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的周期性的應(yīng)用及分段函數(shù)的函數(shù)值，屬于難題．