已知向量
a
=(sinx，cosx+sinx)，
b
=(2cosx，cosx-sinx)，x∈R，設(shè)函數(shù)f(x)=
a
•
b

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值及相應(yīng)的自變量x的取值集合；
（II）當(dāng)x0∈(0，
π
8
)且f(x0)=
4
2
5
時(shí)，求f(x0+
π
3
)的值
分析：（Ⅰ）通過向量關(guān)系求出數(shù)量積，然后利用二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為：
2
sin(2x+
π
4
)，即可求函數(shù)f（x）的最大值，借助正弦函數(shù)的最大值求出相應(yīng)的自變量x的取值集合；
（II）當(dāng)x0∈(0，
π
8
)且f(x0)=
4
2
5
時(shí)，直接得到sin(2x0+
π
4
)=
4
5
，求出cos(2x0+
π
4
)=
3
5
，化簡(jiǎn)f(x0+
π
3
)的表達(dá)式，利用兩角和的正弦函數(shù)，整體代入sin(2x0+
π
4
)=
4
5
，cos(2x0+
π
4
)=
3
5
，求得f(x0+
π
3
)的值．
解答：（Ⅰ）∵
a
=(sinx，cosx+sinx)，
b
=(2cosx，cosx-sinx)，
∴f(x)=
a
•
b
=（sinx，cosx+sinx）•（2cosx，cosx-sinx）=2sinxcosx+cos2x-sin2x（1分）
=sin2x+cos2x（3分）
=
2
sin(2x+
π
4
)（4分）
∴函數(shù)f（x）取得最大值為
2
．（5分）
相應(yīng)的自變量x的取值集合為{x|x=
π
8
+kπ（k∈Z）}（7分）
（II）由f(x0)=
4
2
5
得
2
sin(2x0+
π
4
)=
4
2
5
，即sin(2x0+
π
4
)=
4
5

因?yàn)?span id="absatat" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">x0∈(0，
π
8
)，所以2x0+
π
4
∈(
π
4
，
π
2
)，從而cos(2x0+
π
4
)=
3
5
（9分）
于是f(x0+
π
3
)=
2
sin(2x0+
π
4
+
π
3
)=
2
sin[(2x0+
π
4
)+
π
3
]=
2
sin[(2x0+
π
4
)+
π
3
]=
2
[sin(2x0+
π
4
)cos
π
3
+cos(2x0+
π
4
)sin
π
3
]
=
2
(
4
5
×
1
2
+
3
5
×
3
2
)=
4
2
+3
6
10
（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查了向量的數(shù)量積的計(jì)算，二倍角和兩角和的正弦函數(shù)，三角函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，整體代入思想，合理應(yīng)用角的變形，二倍角公式的轉(zhuǎn)化，是本題的難點(diǎn)，注意總結(jié)應(yīng)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達(dá)式．
（2）用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=f（x）在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時(shí)自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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