Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=λ•2^n-1-1（λ∈R）
（1）求λ 值，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）將函數(shù)f（x）=a₃sin（a₂x）向左平移

π

6

個(gè)單位得到g（x）的圖象，求g（x）在[-

π

6

，

π

6

]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知先寫出數(shù)列的前三項(xiàng)，從而可求得λ的值，進(jìn)而可求得求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）先求f（x）=4sin2x，可得g（x）=4sin（2x+

π

3

），由-

π

6

≤x≤

π

6

，可得0≤2x+

π

3

≤

2π

3

，從而可求g（x）在[-

π

6

，

π

6

]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=λ•2^n-1-1，
∴a₁=S₁=λ-1，a₂=S₂-S₁=2λ-1-（λ-1）=λ，a₃=S₃-S₂=4λ-1-（2λ-1）=2λ，
∵{a_n}是等比數(shù)列，
∴a₂²=a₁a₃，即λ²=2λ（λ-1），解得λ=0（不合題意，舍去），或λ=2． 
∴在{a_n}中，a₁=1，公比q=

a2

a1

=2，
∴a_n=1×2^n-1=2^n-1． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a₂=2，a₃=4，于是f（x）=4sin2x，
∴g（x）=4sin[2（x+

π

6

）]=4sin（2x+

π

3

）．  
∵-

π

6

≤x≤

π

6

，
∴0≤2x+

π

3

≤

2π

3

，
∴0≤4sin（2x+

π

3

）≤4，
即g（x）在[-

π

6

，

π

6

]上的最大值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，等比數(shù)列的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．