Question

如圖，過點(diǎn)（0，a³）（0＜a＜2）的兩直線與拋物線y=-ax²相切于A，B兩點(diǎn)，AD，BC垂直于直線y=-8，垂足分別為D、C，求矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析：設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），則y₀=-ax₀²，把點(diǎn)（0，a³）代入切線方程求得x₀=±a，y₀=-a³，可得AB=2a，BC=8-a³，所以矩形面積為S=16a-2a⁴（0＜a＜2 ），由S'=16-8a³，可得當(dāng)a=

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時，S有最大值為12

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．

解答：解：設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），則y₀=-ax₀²．
因?yàn)閥'=-2ax，所以切線方程為y-y₀=-2ax₀（x-x₀），即y+ax₀²=-2ax₀（x-x₀），---（2分）
因?yàn)榍芯�過點(diǎn)（0，a³），所以a³+ax₀²=-2ax₀（0-x₀），即a³=ax₀²，于是x₀=±a．-----（2分）
將代入 y₀=-ax₀² 得，y₀=-a³．-----（2分）
（若設(shè)切線方程為y=kx+a³，代入拋物線方程后由△=0得到切點(diǎn)坐標(biāo)，亦予認(rèn)可．）
所以AB=2a，BC=8-a³，所以矩形面積為S=16a-2a⁴（0＜a＜2）．----（3分）
于是S'=16-8a³．所以當(dāng)0＜a＜

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時，S'＞0；當(dāng)

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＜a＜2時，S'＜0；
故當(dāng)a=

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時，S有最大值為12

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．----（3分）

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值．