Question

三棱錐P-ABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2AB=2，
（1）求證：面PBC⊥面ABC
（2）求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意由于三棱錐P-ABC中，∠BCA=90°，且PA=PB=PC=BC=2AB=2，所以可以取BC中點O，連接AO，PO，由已知△BAC為直角三角形，所以可得OA=OB=OC，又知PA=PB=PC，則△POA≌△POB≌△POC，利用該三角形的全等得到對應(yīng)角相等，進而得到線面垂直及面面垂直即可；
（2）由題意可以建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，利用求空間點的坐標的方法可以求出點A，B，C，P的坐標，再由向量的坐標公式求出向量

BA

與

BP

的坐標，由平面的法向量的定義及求解平面法向量的方法求出平面PAC的法向量，利用平面法向量的夾角公式與平面二面角之間的關(guān)系即可求解．

解答：（1）證明：取BC中點O，連接AO，PO，由已知△BAC為直角三角形，
所以可得OA=OB=OC，又知PA=PB=PC，
則△POA≌△POB≌△POC
∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，∴PO⊥OB，PO⊥OA，OB∩OA=O
所以PO⊥面BCA，PO?面ABC，∴面PBC⊥面ABC
（2）解：過O作OD與BC垂直，交AC于D點，
如圖建立坐標系O-xyz
則A(

3

2

，-

1

2

，0)，B（0，-1，0），C（0，1，0），P(0，0，

3

)，

BA

=(

3

2

，

1

2

，0)，

BP

=(0，1，

3

)
設(shè)面PAB的法向量為n₁=（x，y，z），由n₁•

BA

=0，n₁•

BP

=0，可知n₁=（1，-

3

，1）
求得面PAC的法向量為n₁=（3，

3

，1），cos（n₁，n₂）=

n1•n2

|n1|•|n2|

=

65

65

，
所以二面角B-AP-C的余弦值為

65

65

．

點評：此題重點考查了線面垂直與面面垂直的判定定理，還考查了利用空間向量的方法求解二面角的大小，還考查了學(xué)生的計算能力與空間想象的能力．