Question

已知函數(shù)f(x)＝＋aln(x－1)（a∈R）．

（Ⅰ）若f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)a＝2時(shí)，求證：1－＜2ln(x－1)＜2x－4（x＞2）；

（Ⅲ）求證：＋＋…＋＜lnn＜1＋＋ ＋（n∈N^*，且n≥2）．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值；(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性可求；（Ⅲ）

利用放縮法和數(shù)列求和可證.

試題解析：(Ⅰ)由已知，得f(x)＝－1＋＋aln(x－1)，

求導(dǎo)數(shù)，得f ′(x)＝－＋．

∵f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，

∴f ′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≥在[2，＋∞)上恒成立，

∴a≥()_max．

∵x≥2，∴0＜≤1，∴a≥1．

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞)．                  4分

（Ⅱ）當(dāng)a＝2時(shí)，由（Ⅰ）知，f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，

∴當(dāng)x＞2時(shí)，f(x)＞f(2)，即－1＋＋2ln(x－1)＞0，

∴2ln(x－1)＞1－．

令g(x)＝2x－4－2ln(x－1)，則g′(x)＝2－＝．

∵x＞2，∴g′(x)＞0，

∴g(x)在(2，＋∞)上是增函數(shù)，

∴g(x)＞g(2)＝0，即2x－4－2ln(x－1)＞0，

∴2x－4＞2ln(x－1)．

綜上可得，1－＜2ln(x－1)＜2x－4（x＞2）．            9分

（Ⅲ）由（Ⅱ），得1－＜2ln(x－1)＜2x－4（x＞2），

令x－1＝，則＜2ln＜2·，k＝1，2， ，n－1．

將上述n－1個(gè)不等式依次相加，得

＋＋ …＋＜2(ln＋ln＋…＋ln)＜2(1＋＋…＋)，

∴＋＋…＋＜2lnn＜2(1＋＋…＋)，

∴＋＋…＋＜lnn＜1＋＋…＋（n∈N^*，且n≥2）．      14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)列求和.