Question

（2010•廣州模擬）一個三角形同時滿足：①三邊是連續(xù)的三個自然數(shù)；②最大角是最小角的2倍，則這個三角形最小角的余弦值為（　　）

• A．

  3 7

  8

• B．

  3

  4

• C．

  7

  4

• D．

  1

  8

Answer 1

分析：根據(jù)三角形滿足的兩個條件，設(shè)出三邊長分別為n-1，n，n+1，三個角分別為α，π-3α，2α，由n-1，n+1，sinα，以及sin2α，利用正弦定理列出關(guān)系式，根據(jù)二倍角的正弦函數(shù)公式化簡后，表示出cosα，然后利用余弦定理得到（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n-1）n•cosα，將表示出的cosα代入，整理后得到關(guān)于n的方程，求出方程的解得到n的值，將n的值代入表示出的cosα中，即可求出這個三角形最小角的余弦值．

解答：解：設(shè)三角形三邊是連續(xù)的三個自然n-1，n，n+1，三個角分別為α，π-3α，2α，
由正弦定理可得：

n-1

sinα

= 

n+1

sin2α

=

n+1

2sinαcosα

，
∴cosα=

n+1

2(n-1)

，
再由余弦定理可得：（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα=（n+1）²+n²-2（n+1）n•

n+1

2(n-1)

，
化簡可得：n²-5n=0，解得：n=5或n=0（舍去），
∴n=5，
則cosα=

n+1

2(n-1)

=

6

8

=

3

4

．
故選B

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．