Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為.
（1）求軌跡為的方程；
（2）設(shè)斜率為的直線過(guò)定點(diǎn)，求直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)公共點(diǎn)，三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)直線與軌跡恰有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線與軌跡恰有兩個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線與軌跡恰有三個(gè)公共點(diǎn).

試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)條件列出等式，在用兩點(diǎn)間的距離公式表示，化簡(jiǎn)整理即得；（2）在點(diǎn)的軌跡中，記，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組整理得 ，分類討論①時(shí)；② ；③ 或；④ ，確定直線與軌跡的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).
（1）設(shè)點(diǎn)，依題意，，即，
整理的，
所以點(diǎn)的軌跡的方程為.
（2）在點(diǎn)的軌跡中，記，，
依題意，設(shè)直線的方程為，
由方程組得     ①
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，把代入軌跡的方程得，
所以此時(shí)直線與軌跡恰有一個(gè)公共點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，方程①的判別式為      ②
設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則由，令，得③
（ⅰ）若，由②③解得或.
即當(dāng)時(shí)，直線與沒(méi)有公共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn)，
故此時(shí)直線與軌跡恰有一個(gè)公共點(diǎn).
（ⅱ）若或，由②③解得或，
即當(dāng)時(shí)，直線與有一個(gè)共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn).
當(dāng)時(shí) ，直線與有兩個(gè)共點(diǎn)，與沒(méi)有公共點(diǎn).
故當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線與軌跡恰有兩個(gè)公共點(diǎn).
（ⅲ）若，由②③解得或，
即當(dāng)時(shí)，直線與有兩個(gè)共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn).
故當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線與軌跡恰有三個(gè)公共點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)時(shí)直線與軌跡恰有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線與軌跡恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線與軌跡恰有三個(gè)公共點(diǎn).