Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+a）•e^x（a∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-t（t∈R，a＞2），若函數(shù)g（x）在[-3，+∞）上有三個零點，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導(dǎo)，通過對a與2比較討論即可得出其單調(diào)區(qū)間及極值；
（2）利用（1）畫出圖象，通過對a分類討論及比較f（-3）與f（-2）的大小即可求出t的取值范圍．
解答：解：（1）f^′（x）=[x²+（2+a）x+2a]e^x=（x+2）（x+a）e^x．
①當(dāng)a=2時，f^′（x）≥0，∴f（x）在R上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a≠2時，令f^′（x）=0，解得x=-2或-a．
不妨令x₁＜x₂，（x₁是-2與-a兩個數(shù)中較小的一個，x₂是另一個）．列表如下：
當(dāng)a＜2時，-a＞-2，取x₁=-2，x₂=-a，其單調(diào)區(qū)間如表格，其極大值為f（-2）=（4-a）e^-2，
極小值為f（-a）=ae^-a．
當(dāng)a＞2時，-a＜-2，取x₁=-a，x₂=-2，其單調(diào)區(qū)間如表格，其極小值為f（-2）=（4-a）e^-2，
極大值為f（-a）=ae^-a．
（2）當(dāng)a＞2時，利用（1）的結(jié)論畫出圖象：
f（-3）=（9-2a）e^-3，又f（-3）-f（-2）=，由于a＞2，且，
∴①當(dāng)2＜a≤時，f（-3）≤f（-2），∴f（-2）＜t＜f（-a）時，函數(shù)y=f（x）（x∈[-3，+∞））的圖象與y=t的圖象有三個交點，即函數(shù)y=g（x）有三個零點；
②當(dāng)時，f（-3）＞f（-2），∴f（-3）≤t＜f（-a）時，函數(shù)y=f（x）（x∈[-3，+∞））的圖象與y=t的圖象有三個交點，即函數(shù)y=g（x）有三個零點；
③當(dāng)a≥3時，函數(shù)y=f（x）（x∈[-3，+∞））的圖象與y=t的圖象至多有三個交點，即函數(shù)y=g（x）至多有兩個零點．
綜上可知：①當(dāng)2＜a≤時，t∈（（4-a）e^-2，ae^-a）時，函數(shù)g（x）有三個零點；
②當(dāng)時，t∈（（9-2a）e^-3，ae^-a）時，函數(shù)g（x）有三個零點；
③當(dāng)a≥3時，則不存在滿足題意的實數(shù)t．
點評：熟練利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)區(qū)間與極值并畫出圖象和應(yīng)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．