精英家教網(wǎng)在正三棱錐P-ABC中，底面正△ABC的中心為O，D是PA的中點，PO=AB=2，求PB與平面BDC所成角的正弦值．
分析：由題意，由于圖形中已經(jīng)出現(xiàn)了垂直于底面的高線，所以可以利用空間向量的方法求解直線與平面所成的夾角．
解答：解：以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA為x軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．因△ABC是正三角形，故y軸平行于BC，而PO=AB=2，則
P（0，0，2），A（
2
3
3
，0，0），
B（-
3
3
，1，0），C（-
3
3
，-1，0），
D是PA的中點，故D（
3
3
，0，1）
BC
=（0，-2，0），
BD
=（
2
3
3
，-1，1）（2分）
設(shè)
n
=（x，y，z）是平面BDC的一個法向量，
n
•
BC
=0且
n
•
BD
=0，
即：
2y=0
2
3
3
x-y+z=0
，化簡得：
y=0
z=-
2
3
3
x
（5分）
取x=
3
，則y=0，z=-2，
平面BDC的一個法向量是
.
n0
=（
3
，0，-2），
PB
=（-
3
3
，1，-2）
cos＜
PB
，
n0
＞=
-1+0+4
7
•
1
3
+1+4
=
3
21
28
（9分）
由于
PB
和
n0
所成的角與PB與平面BDC所成角互余，所以PB與平面BDC所成角的正弦值為
3
21
28
．（10分）
點評：本題主要考查了直線與平面之間所成角，考查空間想象能力，本題考點是立體幾何中求線面角，這是立體幾何中�？嫉囊粋�題型，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

4、在正三棱錐P-ABC中，D、E分別是AB、BC的中點，有下列四個論斷：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE；④平面PDE⊥平面ABC．其中正確的個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正三棱錐P-ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，有下列三個論斷：
①AC⊥PB；
②AC∥平面PDE；
③AB⊥平面PDE．
其中正確論斷的個數(shù)為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為a，則點P到平面ABC的距離為
3
3
a
3
3
a
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正三棱錐P-ABC中，AB=
2
，PA=
3
+1，過點A作截面交PB，PC分別于D，E，則截面△ADE的周長的最小值是
6
+
2
6
+
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正三棱錐P-ABC中，M、N分別是側(cè)棱PB、PC的中點，若截面AMN⊥側(cè)面PBC，底面邊長為2，則此三棱錐的體積是（　�。�
A、
3
2
B、
5
3
C、
5
D、
15
3

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