Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)P（0，m）的直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知，由此能求出橢圓方程． 
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)P（0，m）的斜率不存在，則．若過(guò)點(diǎn)P（0，m）的直線(xiàn)斜率為k，即：時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y-m=kx．由，△=64m²k²-4（3+4k²）（4m²-12）．因?yàn)锳B和橢圓C交于不同兩點(diǎn)，所以△＞0．由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)所求的橢圓方程為：
由題意：
所求橢圓方程為：．…（5分）
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)P（0，m）的斜率不存在，則．
若過(guò)點(diǎn)P（0，m）的直線(xiàn)斜率為k，
即：時(shí)，
直線(xiàn)AB的方程為y-m=kx
由，
△=64m²k²-4（3+4k²）（4m²-12），
因?yàn)锳B和橢圓C交于不同兩點(diǎn)，
所以△＞0，4k²-m²+3＞0，
所以4k²＞m²-3    ①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知，
則    ②
-x₁=3x₂ ③
將③代入②得：
整理得：16m²k²-12k²+3m²-9=0
所以代入①式，
得，
解得．
所以或．
綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：通過(guò)幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線(xiàn)方程的能力，通過(guò)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過(guò)向量與幾何問(wèn)題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，探究研究問(wèn)題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．