Question

已知函數(shù)f（x）=（x+k）lnx（k是常數(shù)）．
（1）若f（x）是增函數(shù)，試求k的取值范圍；
（2）當(dāng)k=0時(shí)，是否存在不相等的正數(shù)a，b滿足若存在，求出a，b；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x）是增函數(shù)，則f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即可求出k的范圍．
（2）不妨設(shè)存在a＞b＞0符合題意，則ln-ln=，構(gòu)造函數(shù)F（x）=xln，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得到整理得ln-ln＜，矛盾，符合題意的不相等的正數(shù)a、b不存在．
解答：解：（1）∵f'（x）=+lnx＞0對(duì)于x＞0恒成立，
即k≥-x-xlnx對(duì)x＞0恒成立，①，
記g（x）=-x-xlnx，所以g′（x）=-（2+lnx），
∴g（x）在x∈（0，e^-2）遞增，在x∈（e-2，+∞）遞減，
∴g（x）在（0，+∞）上的最大值為：g（e^-2）=e^-2，由①可知，k＞e^-2，即k∈[e^-2，+∞）．
（2）不妨設(shè)存在a＞b＞0符合題意，則，
整理得ln-ln=，②，
構(gòu)造函數(shù)F（x）=xln
=xln（2x）+（1-x）ln（x+1）-x+（1-ln2）（x＞0）．
∴F′（1）=0且F'（x）=，對(duì)于x∈[1，+∞）成立．
∴F′（x）在x∈[1，+∞）上遞減．
∵
∴F（）＜F（1）=0
整理得ln-ln＜，與②矛盾．
∴符合題意的不相等的正數(shù)a、b不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，屬于中檔題．