Question

已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若函數(shù)h（x）=|f（x）|-g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a≥-3時(shí)，求函數(shù)h（x）=|f（x）|+g（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值．

Answer 1

（1）∵函數(shù)h（x）=|f（x）|-g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，
即h（x）=|f（x）|-g（x）=|x²-1|-a|x-1|只有一個(gè)零點(diǎn)，
顯然x=1是函數(shù)的零點(diǎn)，
∴即|x-1|-a=0無實(shí)數(shù)根，
∴a＜0；
（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=）=|x²-1|+a|x-1|
=

x2+ax-a-1，1≤x≤2 -x2-ax+a+1，-1＜x＜1 x2-ax+a-1，-2≤x≤-1

，
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，∵a≥-3，
∴-

a

2

≤

3

2

，
當(dāng)x=2時(shí)，h（x）的最大值為h（2）=a+3；
當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，

a

2

≥-

3

2

，
當(dāng)x=-2時(shí)，h（x）的最大值為h（-2）=3a+3；
當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，h（x）的最大值為max{h（-1），h（1），h（-

a

2

）}=max{0，

1

4

a2+a+1，2a}=

1

4

a2+a+1，
∴函數(shù)h（x）最大值為h（a）=

a+3         -3≤a≤0 3a+3        0＜a≤4+2 6 1 4 a2+a+1，a＞4+2 6

．