Question

已知點(diǎn)P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在直線l：y=2x+2上，P₁為直線l與x軸的交點(diǎn)，數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列，公差為1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若f(n)=

an，n為奇數(shù) bn，n為偶數(shù)

問(wèn)是否存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-5成立？若存在，求出k的值，若不存在，說(shuō)明理由；
（Ⅲ）求證：

1

|p1p2|2

+

1

|p1p3|2

+…+

1

|p1pn|2

＜

2

5

（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知P₁（-1，0），a₁=-1，b₁=0，由此可知a_n=n-2，b_n=2n-2．
（Ⅱ）若k為奇數(shù)，則f（k）=a_k=k-2f（k+5）=b_k+5=2k+8∴2k+8=2（k-2）-5無(wú)解．若k為偶數(shù)，則f（k）=2k-2，f（k+5）=k+3，由此可知存在k=4使f（k+5）=2f（k）-5成立．
（Ⅲ）|

p1pn

|2=(n-1)2+4(n-1)2=5(n-1)2，由此入手能夠證明，當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，

1

|p1p2|2

+

1

|p1p3|2

+…+

1

|p1pn|2

＜

2

5

成立．

解答：解：（Ⅰ）由題意知P₁（-1，0）（1分）
∴a₁=-1，b₁=0（2分）
∴a_n=a₁+（n-1）•1=-1+n-1=n-2
∴b_n=2a_n+2=2（n-2）+2=2n-2
（Ⅱ）若k為奇數(shù)，
則f（k）=a_k=k-2f（k+5）=b_k+5=2k+8∴2k+8=2（k-2）-5無(wú)解（6分）
若k為偶數(shù)，
則f（k）=2k-2，f（k+5）=k+3∴k+3=2（2k-2）-5，解得k=4（8分）
綜上，存在k=4使f（k+5）=2f（k）-5成立．（9分）
（Ⅲ）證明：|

p1pn

|2=(n-1)2+4(n-1)2=5(n-1)2
（1）當(dāng)n=2時(shí)

1

|p1p2|2

+

1

|p2p3|2

+…+

1

|p1pn|2

=

1

5

＜

2

5

成立．（11分）
（2）當(dāng)n≥3，n∈N^*時(shí)，

1

|p1p2|2

+

1

|p1p3|2

+…+

1

|p1pn|2

=

1

5

[

1

12

+

1

22

+…+

1

(n-1)2

]λx₁²-2λx₁+λ-1=0．（12分）
=

1

5

(1+1-

1

n-1

)＜

1

5

(1+1)=

2

5

成立．（13分）
綜上，當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，

1

|p1p2|2

+

1

|p1p3|2

+…+

1

|p1pn|2

＜

2

5

成立．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．