Question

如圖,四棱柱中,.為平行四邊形,, , 分別是與的中點.

(1)求證:;

(2)求二面角的平面角的余弦值.

 

Answer 1

(1)見解析 (2)

【解析】

試題分析：(1) 先證明△ADE為正△，再利用余弦定理可求CE ，然后證明出CE⊥DE ，CE⊥DD1 ，最后得到CE⊥平面DD1E, 即可證明出CE⊥DF. (2)先建立以直線AB, AA1分別為軸,軸建立空間直角坐標系,然后根據(jù)點坐標求出法向量，，再利用夾角公式求出二面角的平面角的余弦值.

(1)AD=AE, ∠DAB=60° ∴△ADE為正△

在△CDE中,由余弦定理可求CE=.

又.由勾股定理逆定理知CE⊥DE

又DD1⊥平面ABCD, CE平面ABCD. ∴CE⊥DD1

∴CE⊥平面DD1E, 又DF平面DD1E. ∴CE⊥DF.

(2)以直線AB, AA1分別為軸,軸建立空間直角坐標系,由題設A(0,0,0), E(1,0,0),

D1(), C

可求平面AEF的一個法向量為

平面CEF的一個法向量為

∴平面角滿足

又為純角 ∴

注:本題(1)也可建坐標直接證明.(2)的坐標系建法不唯一.

考點：余弦定理；勾股定理逆定理；線面垂直的性質與判定定理；法向量；夾角公式.