Question

在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=1-

1

4an

，bn=

2

2an-1

，其中n∈N*．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)cn=

2

n+1

an，數(shù)列{c_nc_n+2}的前n項(xiàng)和為T_n，是否存在正整整m，使得Tn＜

1

cmcm+1

對于n∈N^*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，只需證明b_n-1-b_n=2；（2）由cn=

2

n+1

an，可得cn=

1

n

從而利用裂項(xiàng)法求前n項(xiàng)和為T_n，進(jìn)而利用最值思想解決恒成立問題．

解答：解：（1）證明：∵bn+1-bn=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=

2

2(1- 1 4an )-1

-

2

2an-1

=

4an

2an-1

-

2

2an-1

=2(n∈N*)
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列（3分）
∵a₁=1，∴b1=

2

2a1-1

=2
∴b_n=2+（n-1）×2=2n，由bn=

2

2an-1

得，2an-1=

2

bn

=

1

n

(n∈N*)
∴an=

n+1

2n

（2）cn=

2

n+1

an=

1

n

．

cncn+2= 1 n(n+2) = 1 2 ( 1 n - 1 n+2 ) Tn=c1c2+c2c4+c3c5+cncn+2 = 1 2 [( 1 1 - 1 3 )+( 1 2 - 1 4 )+( 1 3 - 1 5 )+( 1 4 - 1 6 )++( 1 n - 1 n+2 )]

=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

．（10分）
依題意要使Tn＜

1

cmcm+1

對于n∈N*恒成立，只需m(m+1)≥

3

4

，
解得m≤-

3

2

或m≥

1

2

．所以m的最小值為1（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式的求解，考查裂項(xiàng)法求和及恒成立問題的處理 方法，綜合性強(qiáng)．