Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為

6

3

，
（Ⅰ）求橢圓的方程．
（Ⅱ）已知定點M（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于A、B兩點．問：是否存在k的值，使以AB為直徑的圓過M點？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為

6

3

，結(jié)合a²=b²+c²，求出a，b可得橢圓的方程．
（Ⅱ）若存在k的值，使以AB為直徑的圓過M點，則MA⊥MB，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y1

x1+1

•

y2

x2+1

=-1，即y₁•y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，構(gòu)造方程求出k值即可．

解答：解：（I）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為

6

3

，
∴b=1，e=

c

a

=

6

3

∴b²=1，

c2

a2

=

2

3

結(jié)合a²=b²+c²得：a²=3
∴橢圓的標準方程為

x2

3

+y2=1
（II）假若存在k的值，使以AB為直徑的圓過M點
由

x2 3 +y2=1 y=kx+2

得：（1+3k²）x²+12kx+9=0
則△=（12k）²-36（1+3k²）=36（k²-1）＞0
解得：k＜-1，或k＞1…①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-12k

1+3k2

，x₁•x₂=

9

1+3k2

∴y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²（x₁•x₂）+2k（x₁+x₂）+4
要使以AB為直徑的圓過M點
當且僅當MA⊥MB，即

y1

x1+1

•

y2

x2+1

=-1，即y₁•y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0時滿足條件
∴k²（x₁•x₂）+2（k+1）（x₁+x₂）+5=0
即k²（

9

1+3k2

）+2（k+1）（

-12k

1+3k2

）+5=0
解得k=

7

6

經(jīng)檢驗k=

7

6

滿足條件
綜上可知，存在k=

7

6

使以AB為直徑的圓過M點

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關(guān)系，橢圓的標準方程，熟練掌握橢圓的簡單性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．