Question

已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-x+1
（I）求曲線在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若xf′（x）≤x²+ax+1，求a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：（x-1）f（x）≥0．

Answer 1

分析：（1）由導(dǎo)數(shù)在這點(diǎn)的函數(shù)值等于在這點(diǎn)處的切線斜率即得．
（2）由恒成立的思想，化簡后由a≥h（x）恒成立，只需要a≥h（x）_max，從而證明之．
（3）由上一題的結(jié)論加以運(yùn)用，即可證明．

解答：解：（I）f′(x)=

x+1

x

+lnx-1=

1

x

+lnx
所以f′（1）=1，所以切線方程y=x-1
（Ⅱ）xf′（x）≤x²+ax+1?1+xlnx≤x²+ax+1，
即：xlnx≤x²+ax，x＞0，則有l(wèi)nx≤x+a，
即要使a≥lnx-x成立．
令g（x）=lnx-x，那么g′(X)=

1

x

-1=0?x=1，
可知當(dāng)0＜x＜1時(shí)單調(diào)增，當(dāng)x＞1時(shí)單調(diào)減．
故g（x）=lnx-x 在x=1 處取最大值為g_max=-1，
那么要使得a≥lnx-x 成立，則有a≥-1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：lnx-x≤-1，即lnx-x+1≤0
當(dāng)0＜x＜1 時(shí)，f（x）=xlnx+lnx-x+1＜0，
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=xlnx+lnx-x+1
=lnx+（xlnx-x+1）
=lnx+x（lnx+

1

x

-1）
=lnx-x（ln

1

x

-

1

x

+1）
≥0．
∴f（x）=xlnx+lnx-x+1=lnx+（xlnx-x+1）≥0
綜上所述，（x-1）f（x）≥0

點(diǎn)評：本題是導(dǎo)數(shù)的深度考查的題目，綜合性較強(qiáng)．屬于比較難把握的題目，高考題中易出現(xiàn)在最后三題．