拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),它的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),并與雙曲線實(shí)軸垂直,已知拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為(
3
2
,
6
),求拋物線與雙曲線方程.
分析:首先根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的焦點(diǎn),可得p=2c,再利用拋物線與雙曲線同過(guò)交點(diǎn)(
3
2
,
6
),求出c、p的值,進(jìn)而結(jié)合雙曲線的性質(zhì)a2+b2=c2,求解即可.
解答:解:由題設(shè)知,拋物線以雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn),準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn),∴p=2c.設(shè)拋物線方程為y2=4c•x,
∵拋物線過(guò)點(diǎn)(
3
2
,
6
),∴6=4c•
3
2

∴c=1,故拋物線方程為y2=4x.
又雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1過(guò)點(diǎn)(
3
2
,
6
),
9
4a2
-
6
b2
=1.又a2+b2=c2=1,∴
9
4a2
-
6
1-a2
=1.
∴a2=
1
4
或a2=9(舍).
∴b2=
3
4

故雙曲線方程為:4x2-
4y2
3
=1.
點(diǎn)評(píng):本題考查了拋物線和雙曲線方程的求法:待定系數(shù)法,熟練掌握?qǐng)A錐曲線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,同時(shí)考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力與運(yùn)算技巧.
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