Question

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）在同一個周期內(nèi)，當x=

π

4

時y取最大值2，當x=

7π

12

時，y取最小值-2．
（1）求函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）．
（2）x∈[0，

π

3

]，求f（x）的值域且畫出f（x）在[0，

π

3

]上的簡圖．
（3）求函數(shù)y=

1

3

sin（3x-

π

4

）+2對稱軸方程、對稱中心坐標，敘述函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換可得到函數(shù)y=

1

3

sin（3x-

π

4

）+2的圖象？

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由函數(shù)的最值可得A，再根據(jù)周期求得ω，再由五點法作圖求得φ，可得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)x∈[0，

π

3

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的值域．再根據(jù)五點法作圖畫出f（x）在[0，

π

3

]上的簡圖．
（3）由條件根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象的對稱性，求得函數(shù)對稱軸方程、對稱中心坐標，再根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由函數(shù)的最值可得A=2，再根據(jù)

1

2

T=

1

2

•

2π

ω

=

7π

12

-

π

4

，求得ω=3．
再由五點法作圖可得 3×

π

4

+φ=

π

2

，∴φ=-

π

4

，故函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）=2sin（3x-

π

4

）．
（2）∵x∈[0，

π

3

]，∴3x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，∴sin（3x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）的值域為[-

2

，2]．
畫出f（x）在[0，

π

3

]上的簡圖：
列表：

3x- π 4	- π 4	0	π 2	3π 4
x	0	π 12	π 4	π 3
f（x）	- 2	0	1	2

作圖：
（3）對于函數(shù)y=

1

3

sin（3x-

π

4

）+2，令3x-

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z，求得x=

kπ

3

+

π

4

，
故函數(shù)的對稱軸方程為x=

kπ

3

+

π

4

，k∈z．
令3x-

π

4

=kπ，k∈z，求得x=

kπ

3

+

π

12

，
故函數(shù)的對稱中心的坐標為（

kπ

3

+

π

12

，0）k∈z．
把函數(shù)y=sinx的圖象向右平移

π

4

個單位，可得y=sin（x-

π

4

）的圖象；
再把所得圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="vxo3ypx" class="MathJye">

1

3

倍，可得函數(shù)y=sin（3x-

π

4

）的圖象；
再把所得圖象上點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="yg31d0p" class="MathJye">

1

3

倍，可得函數(shù)y=

1

3

sin（3x-

π

4

）的圖象；
再把所得圖象向上平移2個單位，可得函數(shù)y=

1

3

sin（3x-

π

4

）+2的圖象．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，用五點法作y=Asin（ωx+φ）在閉區(qū)間上的簡圖，y=Asin（ωx+φ）的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．