Question

已知函數(shù)
（1）在同一在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f（x），g（x）的圖象；
（2）利用圖象求F（x）＞0的解集；
（3）已知函數(shù)的零點(diǎn)是1和x₀，若x₀∈（n，n+1）（n∈N），求n的值；
（4）若已知x（x²+3x-6）＞0，解不等式：•（x²+3x-6）²．

Answer 1

解：（1）∵F（x）=（x＞0）
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）＞0，g（x）＜0．f（x）＞g（x）
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）＞g（x）
而f（2）=g（2）=1，f（4）=g（4）=2但是函數(shù)f（x）=與g（x）=log₂x在（4，+∞）都是單調(diào)遞增，
但是函數(shù)f（x）比函數(shù)g（x）的增加速度快
當(dāng)x＞4時(shí)，f（x）＞g（x）
∴函數(shù)f（x）=，g（x）=log₂x的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，其圖象如圖所示


（2）由圖象可得，當(dāng)0＜x＜2，或x＞2時(shí)，f（x）＞g（x），即F（x）＞0
當(dāng)2＜x＜4時(shí)，f（x）＜g（x），即F（x）＜0
∴F（x）＞0的解集為{x|0＜x＜2或x＞4}．

（3）由函數(shù)的零點(diǎn)是1可得即x-1-2log₂x=0的根為1和x₀
令G（x）=x-1-2log₂x
G（1）=0，而G（6）=5-2log₂6＞0，G（5）=4-2log₂5＜0
根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，x₀∈（5，6）
∴n=5．
（4）不等式：•（x²+3x-6）²．
兩邊取以2為底的對數(shù)得：
x+3+log₂x²＜+log₂（x²+3x-6）²
即x+3-＜log₂（x²+3x-6）²-log₂x²
即（）＜log₂
從而由（1）得出2＜＜4．
即①或②
解①得2＜x＜3；解②得-3＜x＜-2
∴原不等式的解集為（-3，-2）∪（2，3）．
分析：（1）根據(jù)F（x）=（x＞0）分類討論：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，比較f（x）和g（x）函數(shù)值的大小，進(jìn)一步得出函數(shù)f（x）=，g（x）=log₂x的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，再畫出圖象．
（2）由圖象可得，當(dāng)0＜x＜2，或x＞2時(shí)，f（x）＞g（x），當(dāng)2＜x＜4時(shí)，f（x）＜g（x），從而得出F（x）＞0的解集；
（3）由函數(shù)的零點(diǎn)是1可得即x-1-2log₂x=0的根為1和x₀令G（x）=x-1-2log₂x根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，x₀∈（5，6）從而得出n=5；
（4）先對不等式：•（x²+3x-6）²．兩邊取以2為底的對數(shù)得：x+3+log₂x²＜+log₂（x²+3x-6）²最后整理成（）＜log₂，從而由（1）得出2＜＜4．解之即可．
點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．