【題目】如圖，長方體的底面是正方形，點在棱上，.

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)長方體性質可知平面，從而，由題意，即可由線面垂直的判定定理證明平面；

（2）由題意，設，建立空間直角坐標系，即可寫出各個點的坐標，求得平面和平面的法向量，即可由兩個平面的法向量求得二面角夾角的余弦值，再由同角三角函數(shù)關系式即可求得二面角的正弦值.

（1）由已知得，平面，平面，

故.

又，且，

所以平面.

（2）由（1）知.由題設知，所以，

故，. 設，以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系：

則，，，，，，.

設平面的法向量為，則即.

所以可取.

設平面的法向量為，則即

所以可取.

于是.

由同角三角函數(shù)關系式可得二面角的正弦值為.

練習冊系列答案
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男生身高頻率分布表

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（單位：厘米）

頻數(shù)

7

10

19

18

4

2

女生身高頻數(shù)分布表

女生身高

（單位：厘米）

頻數(shù)

3

10

15

6

3

3

（1）估計這1000名學生中女生的人數(shù)；

（2）估計這1000名學生中身高在的概率；

（3）在樣本中，從身高在的女生中任取3名女生進行調查，設表示所選3名學生中身高在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.（身高單位：厘米）

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A.B.C.D.

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