Question

（2010•合肥模擬）2010年上海世博會(huì)中國(guó)館的建筑外觀以“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉(cāng)，富庶百姓”為主題，代表中國(guó)文化的精神與氣質(zhì)．如果將中國(guó)館的下方架空層看成一個(gè)長(zhǎng)方體，上方看成一個(gè)四棱臺(tái)，則其直觀圖、主視圖和側(cè)視圖近似如下圖（精確到10m）．（臺(tái)體的體積公式：V臺(tái)=

1

3

(S+

SS′

+S′)•h）
（1）畫(huà)出幾何體的俯視圖；
（2）求證：EA'⊥BD
（3）計(jì)算該幾何體的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中的直觀圖和主（側(cè)）視圖，可以可以判斷該幾何體的俯視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)140米的大正方形（能看到故邊為實(shí)線），和一個(gè)邊長(zhǎng)為70米的小正方形（不能看到故邊為虛線）組成，畫(huà)出上部棱臺(tái)的側(cè)棱（不能看到故邊為虛線）后，可得幾何體的俯視圖；
（2）由三視圖可以看出上部為倒立的正四棱臺(tái)，由主（側(cè)）視圖，可得B'D'⊥面A'C'GE，進(jìn)而由線面垂直的性質(zhì)可得B'D'⊥EA'，由BD∥B'D'可得EA'⊥BD
（3）由棱臺(tái)的上下底面分別是邊長(zhǎng)140米的大正方形和邊長(zhǎng)為70米的小正方形，高為60米，棱柱的底面為邊長(zhǎng)為70米的小正方形，高為30米，分別代入棱臺(tái)體積公式和棱柱體積公式，進(jìn)而得到幾何體的體積．

解答：解：（1）俯視圖如圖所示：
（2）證明，由三視圖可以看出上部為倒立的正四棱臺(tái)
由三視圖可得，B'D'⊥面A'C'GE
所以B'D'⊥EA'
而B(niǎo)D∥B'D'
所以BD⊥EA'
（3）下部的體積為：V_下=70²×30=147000
上部分的上底面積為：S=140²=19600
所以上部分的體積為：V上=

1

3

•60•(4900+

4900•19600

+19600)=686000
所以總體積為，V=147000+686000=833000（m³）

點(diǎn)評(píng)：本題以中國(guó)館的抽象圖為載體考查了空間中直線與直線間的位置關(guān)系，由三視圖求體積等知識(shí)點(diǎn)，其中棱臺(tái)的體積公式是解答本題的難點(diǎn)．