Question

【題目】選修4-5：不等式選講

（Ⅰ）已知，證明： ；

（Ⅱ）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用條件運(yùn)用基本不等式，將原式化為，再應(yīng)用條件，即可得結(jié)果；（Ⅱ）“對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立”等價(jià)于“”，只需求出的最小值即可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）證明：因?yàn)?/span>，

所以.

所以要證明，

即證明.

因?yàn)?/span>

，

所以.

因?yàn)?/span>，所以.

所以.

（Ⅱ）設(shè)，

則“對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立”等價(jià)于“”.

當(dāng)時(shí)，

此時(shí)，

要使恒成立，必須，解得.

當(dāng)時(shí)， 不可能恒成立.

當(dāng)時(shí)，

此時(shí)，

要使恒成立，必須，解得.

綜上可知，實(shí)數(shù)的取范為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法以及不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題．不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù).本題是利用方法 ③ 求得的范圍.