Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}，首項(xiàng)a₁=

1

2

，前n項(xiàng)和為S_n，且S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的意義即可得出；
（Ⅱ）由（ I）知，na_n=

n

2n

，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和即可得出．

解答： 解：：（Ⅰ）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的公比為q（q＞0），又a₁=

1

2

，∴a_n=

1

2

•q^n-1，
∵S₃+a₃、S₅+a₅、S₄+a₄成等差數(shù)列，
∴2（S₅+a₅）=（S₃+a₃）+（S₄+a₄），
即2（a₁+a₂+a₃+a₄+2a₅）=（a₁+a₂+2a₃）+（a₁+a₂+a₃+2a₄），
化簡(jiǎn)得4a₅=a₃，
∴4a1q4=a1q2，化為4q²=1，
解得q=±

1

2

∵q＞0，
∴q=

1

2

，
∴a_n=

1

2n

（ II）由（ I）知，na_n=

n

2n

，
則T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，②…（8分）
①-②得：

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

，
所以T_n=2-

n+2

2n

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．