Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求b的值；
（2）若直線y=2x和此函數(shù)的圖象相切，求a的值；
（3）若當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f(x)-a2＞

2

3

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)的極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為零，因此對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，結(jié)合x=2是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，得f′（2）=0，最后解關(guān)于b的方程，可得b的值為

3

2

；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線的斜率等于導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值，因此設(shè)直線y=2x和函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），解方程f′（x₀）=2得x₀=0或3，再將其代入直線方程可以得到切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）或（3，6），最后將所得坐標(biāo)代入f（x）的表達(dá)式，可得實(shí)數(shù)a的值；
（3）將不等式進(jìn)行變量分離，變成

1

3

x3-

3

2

x2+2x-

2

3

＞a2-a，在x∈[1，3]時(shí)恒成立．記不等式的左邊為F（x），通過求導(dǎo)數(shù)的方法得到F（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值為F（2）=0，欲使不等式在區(qū)間[1，3]時(shí)恒成立，即這個(gè)最小值也大于a²-a，解不等式a²-a＜0，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，得f（x）導(dǎo)函數(shù)為：f′（x）=x²-2bx+2
∵x=2是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（2）=0即2²-2b•2+2=0⇒b=

3

2

（2）由（1）得函數(shù)表達(dá)式為：f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+a
它的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x²-3x+2
設(shè)直線y=2x和函數(shù)的圖象的切點(diǎn)為P（x₀，y₀）
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′（x₀）=x₀²-3x₀+2=2
∴x₀=0或3
代入直線y=2x方程得：y₀=0或6
∴切點(diǎn)為（0，0）或（3，6）
①將切點(diǎn)（0，0）代入函數(shù)表達(dá)式，得f（0）=a=0
②將切點(diǎn)（3，6）代入函數(shù)表達(dá)式，得f（3）=

1

3

•3³-

3

2

•3²+2•3+a=6，得a=

9

2

綜上所述，得a=0或a=

9

2

（3）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f(x)-a2＞

2

3

恒成立，
即

1

3

x3-

3

2

x2+2x+a-a2＞

2

3

在x∈[1，3]時(shí)恒成立
變量分離得：

1

3

x3-

3

2

x2+2x-

2

3

＞a2-a在x∈[1，3]時(shí)恒成立
說明

1

3

x3-

3

2

x2+2x-

2

3

在[1，3]上的最小值大于a²-a
記F（x）=

1

3

x3-

3

2

x2+2x-

2

3

，求得F′（x）=x²-3x+2
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，所以F（x）為（1，2）上的減函數(shù)
當(dāng)x∈（2，3）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，所以F（x）為（2，3）上的增函數(shù)
∴F（x）在[1，3]上的最小值為F（2）=

1

3

•23-

3

2

•22+2•2-

2

3

=0
∴a²-a＜0，解之得0＜a＜1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值和導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．