如圖，A為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB、AC分別過(guò)焦點(diǎn)F1、F2，當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)，恰好有AF1∶AF2＝3∶1．

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)設(shè)．

①當(dāng)A點(diǎn)恰為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，求λ1＋λ2的值；

②當(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，試判斷是λ1＋λ2否為定值？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案：
解析：

　　解(Ⅰ)設(shè)，則．由題設(shè)及橢圓定義得

　　，消去得，所以離心率．3分

　　(Ⅱ)解法一：由(1)知，，所以橢圓方程可化為．

　�、佼�(dāng)A點(diǎn)恰為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，，直線的方程為．

　　由得　，解得，

　　∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

　　又，所以，，所以，．6分

　�、诋�(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，為定值6．

　　證明　設(shè)，，則．

　　若為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，則或，

　　所以．8分

　　若為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則由得，，所以．

　　又直線的方程為，所以由得

．

　　，

　　∴．

　　由韋達(dá)定理得　，所以．同理．

　　∴．

　　綜上證得，當(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，為定值6．14分

　　解法二：設(shè)，，則

　　∵，∴；………………8分

　　又①，②，將、代入②得：

　　即③；

　�、�①得：；……………12分

　　同理：由得，∴，∴．…14分


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如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的焦點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，PF1⊥OX軸，且OP和橢圓的一條長(zhǎng)軸頂點(diǎn)A和短軸頂點(diǎn)B的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率e
（2）若Q是橢圓上任意一點(diǎn)，證明∠F1QF2≤
π
2

（3）過(guò)F1與OP垂直的直線交橢圓于M，N，若△M F2N的面積為20
3
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（1）求橢圓的離心率e
（2）若Q是橢圓上任意一點(diǎn)，證明∠F1QF2≤
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A．
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C．
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（2）設(shè)P是橢圓的左頂點(diǎn)，PA，PB分別與橢圓右準(zhǔn)線交與M，N兩點(diǎn)，求證：以MN為直徑的圓D一定經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

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