Question

5．斜率為$\sqrt{3}$的直線l經(jīng)過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，且交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為4，則p的值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于直線過其焦點(diǎn)且斜率為$\sqrt{3}$，可得方程，與拋物線的方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得p．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F為（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線為x=-$\frac{p}{2}$，
由于直線過其焦點(diǎn)且斜率為$\sqrt{3}$，
可得方程為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$）．
代入拋物線方程可得12x²-20px+3p²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{3}$p，
∵AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為4，
∴$\frac{5}{6}$p+$\frac{p}{2}$=4，
解得p=3．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于中檔題．