Question

已知函數(shù)f(x)=

1

(1-x)n

+aln(x-1)，其中n∈N^*，a為常數(shù)．
（Ⅰ）當n=1時，函數(shù)f（x）在x=3取得極值，求a值；
（Ⅱ）當a=1時，證明：對任意的正整數(shù)n，當x≥2時，有f（x）≤x-1．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，根據函數(shù)f（x）在x=3取得極值，可得f′（3）=0，從而可得a值，再驗證導數(shù)為0的左右附近，導數(shù)符號改變即可；
（2）欲證：“f（x）≤x-1”，當x≥2時，對任意的正整數(shù)n，恒有

1

(1-x)n

≤1，故只需證明1+ln（x-1）≤x-1．
令h（x）=x-1-[1+ln（x-1）]=x-2-ln（x-1），利用導函數(shù)，可得函數(shù)的單調性，從而有x≥2時，h（x）≥h（2）=0，故問題得證．

解答：（Ⅰ）解：由已知得函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞1}，
當n=1時，f(x)=

1

1-x

+aln(x-1)，所以f′（x）=

1-a+ax

(1-x)2

．
∵函數(shù)f（x）在x=3取得極值，
∴f′（3）=0
∴1-a+3a=0
∴a=-

1

2

∴f′(x)=

3-x

2(1-x)2

∴函數(shù)在（1，3）上，f′（x）＜0；在（3，+∞）上，f′（x）＞0
∴a=-

1

2

時，函數(shù)f（x）在x=3取得極值
（Ⅱ）證明：當a=1時，f(x)=

1

(1-x)n

+ln(x-1)
當x≥2時，對任意的正整數(shù)n，恒有

1

(1-x)n

≤1，
故只需證明1+ln（x-1）≤x-1．
令h（x）=x-1-[1+ln（x-1）]=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞），
則h′(x)=1-

1

x-1

=

x-2

x-1

，
當x≥2時，h'（x）≥0，故h（x）在[2，+∞）上單調遞增，
因此當x≥2時，h（x）≥h（2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立．
故當x≥2時，有

1

(1-x)n

+ln(x-1)≤x-1．
即f（x）≤x-1．

點評：本題重點考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查利用導數(shù)的單調性證明不等式，解題的關鍵是將證明對任意的正整數(shù)n，當x≥2時，有f（x）≤x-1轉化為證明1+ln（x-1）≤x-1，有一定的難度．