Question

已知函數(shù)f（x）=，g（x）=x³-2a²x+a³-4
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若存在實(shí)數(shù)a使得對于任意給定x₁∈[0，t]，都有x₂∈[0，2]，使f（x₁）=g（x₂），求t的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，3）∪（3，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；令f′（x）＜0，x≠3，可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）確定x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)f（x的值域，若命題成立，等價(jià)于g（x）在[0，t]上的值域是[-4，-3]的子集，對g（x）=x³-2a²x+a³-4，求導(dǎo)函數(shù)，再進(jìn)行分類討論．①當(dāng)a=0時(shí)，g（x）在R上是增函數(shù)，從而0≤x≤t時(shí)，-4≤g（x）≤t²-4，故只需t²-4≤-3；②a≠0，要使命題成立，只需-4≤g（0）≤-3，從而g′（x）=3（x+）（x-），確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)g（x）的最小值，從而可求t的取值的最大值．
解答：解：（I）函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，3）∪（3，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）==
令f′（x）＞0，可得x＜1或x＞5；令f′（x）＜0，x≠3可得1＜x＜3或3＜x＜5
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），（5，+∞）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3），（3，5）；
（II）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，在[0，1]上單調(diào)增，在[1，2]上單調(diào)遞減，∴f（x）∈[-4，-3]
若命題成立，等價(jià)于g（x）在[0，t]上的值域是[-4，-3]的子集
∵g（x）=x³-2a²x+a³-4
∴g′（x）=3x²-2a²=3（x+）（x-）
①當(dāng)a=0時(shí)，g′（x）=3x²＞0，∴g（x）在R上是增函數(shù)
∴0≤x≤t時(shí)，-4≤g（x）≤t²-4
∴只需t²-4≤-3，∴-1≤t≤1
②a≠0，∵g（0）=a³-4
要使命題成立，只需-4≤g（0）≤-3，∴-4≤a³-4≤-3
∴0≤a≤1
∴g′（x）=3（x+）（x-）
∴函數(shù)g（x）在（-∞，-）上單調(diào)增，在（-，）上單調(diào)減，在（，+∞）上單調(diào)增
當(dāng)時(shí)，g（x）在處取得最小值，∴＜-4舍去；
當(dāng)時(shí)，g（x）在x=t處取得最小值g（t），g（t）=t³-2a²t+a³-4，只需g（t）≥-4
∴t³-2a²t+a³-4≥-4
∴（t-a）（t+）（t-）≥0
從而t的取值的最大值為
綜上所述，t的最大值是1．
點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查存在性問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，合理分類是關(guān)鍵．