Question

定義函數(shù)f（x）=

sinx，sinx≥cosx cosx，sinx＜cosx

，給出下列四個命題：
（1）該函數(shù)的值域為[-1，1]；
（2）當且僅當x=2kπ+

π

2

（k∈Z）時，該函數(shù)取得最大值；
（3）該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；
（4）當且僅當2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

（k∈Z）時，f（x）＜0．上述命題中正確的個數(shù)是

1個

．

Answer 1

分析：f（x）為分段函數(shù)，由已知分別解出自變量的范圍，從而求得f（x）的值域為[-

2

2

，1]，f（x）取得最大值1時，得x=

π

2

+2kπ或x=2kπ（k∈Z），求解f（x）的最小正周期周期，利用定義f（x+T）=f（x）來判斷，計算出π不是f（x）的最小正周期，經(jīng)過驗證第四個命題是對的．

解答：解：∵sinx≥cosx，∴

π

4

+2kπ≤x≤

5π

4

+2kπ
∵sinx＜cosx，∴-

3π

4

+2kπ＜x＜

π

4

+2kπ
∴f（x）=

sinx   [ π 4 +2kπ 5π 4 +2kπ] cosx  (- 3π 4 +2kπ π 4 +2kπ)

，∴f（x）的值域為[-

2

2

，1]
當x=

π

2

+2kπ或x=2kπ（k∈Z）時，f（x）取得最大值為1．
∵f（x+π）=

-sinx -cosx

≠f（x）
∴f（x）不是以π為最小正周期的周期函數(shù)，
當f（x）＜0時，2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

（k∈Z）
綜上所述，正確的個數(shù)是1個，
故答案為1個．

點評：本題主要考查求解三角函數(shù)的值域、周期、最值等知識，是三角函數(shù)的基礎知識，應熟練掌握．