Question

如圖，已知直線l：x=my+1過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F，拋物線：的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，且直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線g：x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)m變化時(shí)，探求λ₁+λ₂的值是否為定值？若是，求出λ₁+λ₂的值，否則，說(shuō)明理由；
（Ⅲ）連接AE、BD，試證明當(dāng)m變化時(shí)，直線AE與BD相交于定點(diǎn)．

Answer 1

解：（Ⅰ）易知橢圓右焦點(diǎn)F（1，0），∴c=1，
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，∴∴b²=3
∴a²=b²+c²=4∴橢圓C的方程

（Ⅱ）易知m≠0，且l與y軸交于，
設(shè)直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由
∴△=（6m）²+36（3m²+4）=144（m²+1）＞0
∴
又由
∴
同理
∴
∵
∴
所以，當(dāng)m變化時(shí)，λ₁+λ₂的值為定值；
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（4，y₁），E（4，y₂）
方法1）∵
當(dāng)時(shí)，=
=
∴點(diǎn)在直線l_AE上，
同理可證，點(diǎn)也在直線l_BD上；
∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)
方法2）∵
=
∴k_EN=k_AN∴A、N、E三點(diǎn)共線，
同理可得B、N、D也三點(diǎn)共線；
∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)．
分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件能夠求出c=1，b=，從而求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程組，由根與系數(shù)的關(guān)系推導(dǎo)λ₁+λ₂的值．
（Ⅲ）由題設(shè)條件想辦法證明點(diǎn)在既直線l_AE上，又在直線l_BD上，∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題是橢圓的綜合應(yīng)用題，有一定的難度．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘隱含條件，仔細(xì)作答．