Question

一位射擊選手以往1000發(fā)子彈的射擊結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：

環(huán)數(shù)	10	9	8	7	6	5
頻數(shù)	250	350	200	130	50	20

假設(shè)所打環(huán)數(shù)只取整數(shù)，試根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估算：
（1）設(shè)該選手一次射擊打出的環(huán)數(shù)為ξ，求P（ξ≥7.5），Eξ；
（2）他射擊5次至多有三次不小于8環(huán)的概率；
（3）在一次比賽中，該選手的發(fā)揮超出了按上表統(tǒng)計(jì)的平均水平．若已知他在10次射擊中，每一次的環(huán)數(shù)都不小于6，且其中有6環(huán)、8環(huán)各1個(gè)，2個(gè)7環(huán)，試確定該選手在這次比賽中至少打出了多少個(gè)10環(huán)．

Answer 1

解：（1）ξ 的分布列為：

ξ	10	9	8	7	6	5
P	0.25	0.35	0.20	0.13	0.05	0.02

∴P（ξ≥7.5）=P（ξ=8）+P（ξ=9）+P（ξ=10）
=0.20+0.35+0.25=0.8．
∴Eξ=10×0.25+9×0.35+8×0.20+7×0.13+6×0.05+5×0.02
=8.56．
（2）他射擊5次至多有三次不小于8環(huán)的對立事件是有4次不小于8環(huán)的有5次不小于8環(huán)，
∵有4次不小于8環(huán)的概率是：P₅（4）=C₅⁴•0.8⁴•0.2=0.4096，
有5次不小于8環(huán)的概率是：P₅（5）=C₅⁵（0.8）⁵=0.32768，
故他射擊5次至多有三次不小于8環(huán)的概率為：
1-0.4096-0.32768=0.26272．
（3）設(shè)這次比賽中該選手打出了m個(gè)9環(huán)，n個(gè)10環(huán)，則依此次比賽的結(jié)果該選手所打出的環(huán)數(shù)η的分布列為：

η	10	9	8	7	6
P			0.1	0.2	0.1

Eη=n++2.8，
∵Eη＞Eξ，
∴n+＞5.76，
∵m+n=6，
∴n＞3.6．
故在此次比賽中該選手至少打出了4個(gè)10環(huán)．
分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件先再由ξ 的分布列，由此能求出P（ξ≥7.5）和Eξ．
（2）由P₅（4）=C₅⁴•0.8⁴•0.2=0.4096，P₅（5）=C₅⁵（0.8）⁵=0.32768，能求出他射擊5次至多有三次不小于8環(huán)的概率．
（3）設(shè)這次比賽中該選手打出了m個(gè)9環(huán)，n個(gè)10環(huán)，則依此次比賽的結(jié)果能求出該選手所打出的環(huán)數(shù)η的分布列，由此能求出該選手在這次比賽中至少打出了多少個(gè)10環(huán)．
點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，考查學(xué)生探究研究問題的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，理解古典概型的特征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想．本題對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．