設(shè)MN是雙曲線
x2
4
-
y2
3
=1
的弦,且MN與x軸垂直,A1、A2是雙曲線的左、右頂點(diǎn).
(Ⅰ)求直線MA1和NA2的交點(diǎn)的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線y=x-1與軌跡C交于A、B兩點(diǎn),若軌跡C上的點(diǎn)P滿足
.
OP
.
OA
.
OB
(O為坐標(biāo)原點(diǎn),λ,μ∈R)
求證:λ2+μ2-
10
7
λμ
為定值,并求出這個(gè)定值.
(Ⅰ)∵A1、A2是雙曲線的左、右頂點(diǎn),∴A1(-2,0)A2(2,0)
∵M(jìn)N是雙曲線
x2
4
-
y2
3
=1
的弦,且MN與x軸垂直,∴設(shè)M(x0,y0),則N(x0,-y0
則直線MA1和NA2的方程分別為y=
y0
x0+2 
(x+2),y=
-y0
x0-2
(x-2)
聯(lián)立兩方程,解x0,y0,得
x0=
4
x
y0=
2y
x
,∵M(jìn)(x0,y0)在雙曲線上,代入雙曲線方程,得
x2
4
+
y2
3
=1
,即直線MA1和NA2的交點(diǎn)的軌跡C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)聯(lián)立
x2
4
+
y2
3
=1
y=x-1
得7x2-8x-8=0
由韋達(dá)定理得x1+x2=
8
7
x1x2=
8
7

A,B,P三點(diǎn)在
x2
4
+
y2
3
=1
上,
知3x12+4y12=12,3x22+4y22=12,
.
OP
.
OA
.
OB
,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(λ2x12+2λμx1x22x22,λ2y12+2λμy1y22y22
∴3(λ2x12+2λμx1x22x22)+4(λ2y12+2λμy1y22y22)=12
3x1x2+4y1y2=7x1x2-4(x1+x2)+4=-
60
7

λ2+μ2-
10
7
λμ=1

λ2+μ2-
10
7
λμ
為定值,且定制為1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)MN是雙曲線
x2
4
-
y2
3
=1
的弦,且MN與x軸垂直,A1、A2是雙曲線的左、右頂點(diǎn).
(Ⅰ)求直線MA1和NA2的交點(diǎn)的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線y=x-1與軌跡C交于A、B兩點(diǎn),若軌跡C上的點(diǎn)P滿足
.
OP
.
OA
.
OB
(O為坐標(biāo)原點(diǎn),λ,μ∈R)
求證:λ2+μ2-
10
7
λμ
為定值,并求出這個(gè)定值.

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