Question

A、B是橢圓上的點(diǎn)，O為原點(diǎn)，OA與OB斜率的乘積等于-2，．
（I）求證：點(diǎn)C在另一個(gè)橢圓上；
（II）求四邊形OACB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）先設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，y），結(jié)合直線的斜率公式得k_OA•k_OB，再利用向量關(guān)系式得到：x=x₁+x₂，y=y₁+y₁，最后得到點(diǎn)C的坐標(biāo)適合橢圓的方程，從而證得點(diǎn)C在另一個(gè)橢圓上；
（II）設(shè)直線OA的斜率為k，則直線OB的斜率為-，點(diǎn)A坐標(biāo)方程組，|x₁+x₂|=．|OA|=|，tan∠AOB=|，再由S=2S_△AOB=|OA||OB|sin∠AOB
=，能求出四邊形OACB的面積．
解答：解：（I）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，y），則x₁²+=1，
且k_OA•k_OB==0，…（2分）
），
于是x=x₁+x₂，y=y₁+y₁，
∴x²+=（x₁+x₂）²+
=x₁²+=2，
于是，=1上．  …（5分）
（II）設(shè)直線OA的斜率為k，則直線OB的斜率為-，
點(diǎn)A坐標(biāo)方程組，∴|x₁+x₂|=．…（8分）
|OA|=|，
tan∠AOB=|，
S=2S_△AOB=|OA||OB|sin∠AOB
=
=
=
=．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題、直線的斜率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．