Question

已知橢圓

x2

4

+y2=1，P是圓x²+y²=16上任意一點，過P作橢圓的切線PA、PB，切點分別為A、B，則

PA

•

PB

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P（m，n），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用橢圓的一點（x₀，y₀）處的切線方程：

x0x

4

+y0y=1，求出直線PA，PB的方程，進而得到AB的方程為

mx

4

+ny=1．代入橢圓方程，利用數(shù)量積公式，以及韋達定理，化簡整理，結(jié)合P是圓x²+y²=16上任意一點，即可求

PA

•

PB

的最小值．

解答： 解：設(shè)P（m，n），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則對

x2

4

+y2=1兩邊求導(dǎo)，得，

x

2

+2yy′=0，
則過切點A的斜率為-

x1

4y1

，切線方程為：y-y₁=-

x1

4y1

（x-x₁），
又x₁²+4y₁²=4，化簡即得PA：

x1x

4

+y1y=1，
同理可得，PB：

x2x

4

+y₂y=1，
∵過P點作橢圓的切線PA，PB，
∴直線AB的方程為

mx

4

+ny=1．
代入橢圓方程可得（4n²+m²）x²-8mx+（16-16n²）=0，
∴x₁+x₂=

8m

4n2+m2

，x₁x₂=

16-16n2

4n2+m2

，
∴

PA

•

PB

=x₁x₂+m²-m（x₁+x₂）+y₁y₂-n（y₁+y₂）+n²
=x₁x₂+m²-m（x₁+x₂）+

(4-mx1)(4-mx2)

16n2

-

8-m(x1+x2)

4

+n²
=

20-3m2

4n2+m2

+m²+n²-6，
∵m²+n²=16，
∴

PA

•

PB

=11-

44

3n2+16

，
則當(dāng)n=0，m=±4時，即P（±4，0），

PA

•

PB

有最小值

33

4

．
故答案為：

33

4

．

點評：本題綜合考查橢圓的方程及其應(yīng)用、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運用韋達定理解題，同時考查了學(xué)生的基本運算能力、運算技巧、邏輯推理能力，屬于中檔題．