Question

某醫(yī)院將一專家門診已診的1000例病人的病情及診斷所用時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如下表．若視頻率為概率，請用有關(guān)知識解決下列問題．

病癥及代號	普通病癥A1	復(fù)診病癥A2	常見病癥A3	疑難病癥A4	特殊病癥A5
人數(shù)	100	300	200	300	100
每人就診時(shí)間（單位：分鐘）	3	4	5	6	7

（1）用ξ表示某病人診斷所需時(shí)間，求ξ的數(shù)學(xué)期望．并以此估計(jì)專家一上午（按3小時(shí)計(jì)算）可診斷多少病人；
（2）某病人按序號排在第三號就診，設(shè)他等待的時(shí)間為ξ，求P（ξ≤8）；
（3）求專家診斷完三個(gè)病人恰好用了一刻鐘的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由已知得P（A₁）=0.1，P（A₂）=0.3，P（A₃）=0.2，P（A₄）=0.3，P（A₅）=0.1，由此能求出ξ的數(shù)學(xué)期望，并以此能估計(jì)出專家一上午（按3小時(shí)計(jì)算）可診斷多少病人．
（2）P（ξ≤8）是指前兩人都是三分鐘或都是兩分鐘或一個(gè)為三分鐘另一個(gè)為4分鐘，由此能求出結(jié)果．
（3）專家診斷完三個(gè)病人恰好用了一刻鐘情況有三個(gè)病人的診斷時(shí)間分別為3分鐘、5分鐘、7分鐘，或三個(gè)病人的診斷時(shí)間分別為4分鐘、5分鐘、6分鐘，或三個(gè)病人的診斷時(shí)間分別為4分鐘、4分鐘、7分鐘，或三個(gè)病人的診斷時(shí)間分別為3分鐘、6分鐘、6分鐘，三個(gè)病人的診斷時(shí)間都為5分鐘，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：（1）由已知得P（A₁）=

100

1000

=0.1，P（A₂）=

300

1000

=0.3，
P（A₃）=

200

1000

=0.2，P（A₄）=

300

1000

=0.3，P（A₅）=

100

1000

=0.1，
∴Eξ=0.1×3+0.3×4+0.2×5+0.3×6+0.1×7=5，
3×60÷5=36人，
故ξ的數(shù)學(xué)期望為5分鐘，專家一上午（按3小時(shí)計(jì)算）可診斷36名病人．
（2）P（ξ≤8）=P（A₁）P（A₁）+P（A₂）P（A₂）+2P（A₁）P（A₂）+2P（A₁）P（A₃）
=0.1×0.1+0.3×0.3+2×0.1×0.3+2×0.1×0.2=0.2．
（3）專家診斷完三個(gè)病人恰好用了一刻鐘的概率：
P=

A

3 3

P(A1)P(A3)P(A5)+

A

3 3

P(A2)P(A3)P(A4)+

C

1 3

P(A5)P(A2)P(A2)+P（A₃）P（A₃）P（A₃）+

C

1 3

P(A1)P(A4)P(A4)
=6×0.1×0.2×0.1+6×0.3×0.2×0.3+3×0.1×0.3×0.3+3×0.1×0.3×0.3+0.2×0.2×0.2
=0.182．
∴專家診斷完三個(gè)病人恰好用了一刻鐘的概率為0.182．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用．