已知函數(shù)的定義域為,對任意都有

數(shù)列滿足N.證明函數(shù)是奇函數(shù);求數(shù)列的通項公式;令N, 證明:當(dāng)時,.

(本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識,  考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識)

【解析】(1)由于對任意,都有,

    令,得,解得. …… 1分

    令,得,∵

   ∴,即.…… 2分 ∴函數(shù)是奇函數(shù).  …… 3分

(2)解:先用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)時,,得, 結(jié)論成立.

②假設(shè)時, 結(jié)論成立, 即,當(dāng)時,  由于, ,

.∴.即時, 結(jié)論也成立.

由①②知對任意N, .…… 4分

求數(shù)列的通項公式提供下面兩種方法.

 法1:.…………… 5分

 ∵函數(shù)是奇函數(shù), ∴. ∴.  …… 6分

    ∴數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.

  ∴數(shù)列的通項公式為.  ……… 7分

法2:  ∵  …… 5分

    , ∴.… 6分

   ∴數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.

   ∴數(shù)列的通項公式為.………… 7分

(3)證法1:由(2)知,∵,

.   … 8分∴N,且

N,且.… 9分當(dāng)N時,

 …… 10分

…… 11分     .  

.  … 12分∵,∴當(dāng)時,.… 13分

∴當(dāng)時,.  14分

  ………… 12分

  

     

右邊.……… 13 ∴時,不等式也成立.

 由①②知,當(dāng)時,成立.………… 14分

證法3:由(2)知,故對,有

.… 8分

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已知函數(shù)的定義域為,且為偶函數(shù),則實數(shù)的值可以是(     )

A.                   B.                      C.                    D.

 

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已知函數(shù)的定義域為, 且奇函數(shù).當(dāng)時, =--1,那么函數(shù),當(dāng)時,的遞減區(qū)間是 (     )

A.  B.  C.    D.

 

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已知函數(shù)的定義域為, 且奇函數(shù).當(dāng)時, =--1,那么函數(shù),當(dāng)時, 的遞減區(qū)間是 (     )

A.  B.  C.    D.

 

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已知函數(shù)的定義域為,且為偶函數(shù),則實數(shù)的值可以是( 。

A.      B.        C.     D.

 

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