已知函數(shù)的定義域為且,對任意都有
數(shù)列滿足N.證明函數(shù)是奇函數(shù);求數(shù)列的通項公式;令N, 證明:當(dāng)時,.
(本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識, 考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識)
【解析】(1)由于對任意,都有,
令,得,解得. …… 1分
令,得,∵,
∴,即.…… 2分 ∴函數(shù)是奇函數(shù). …… 3分
(2)解:先用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)時,,得, 結(jié)論成立.
②假設(shè)時, 結(jié)論成立, 即,當(dāng)時, 由于, ,
又.∴.即時, 結(jié)論也成立.
由①②知對任意N, .…… 4分
求數(shù)列的通項公式提供下面兩種方法.
法1:.…………… 5分
∵函數(shù)是奇函數(shù), ∴. ∴. …… 6分
∴數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.
∴數(shù)列的通項公式為. ……… 7分
法2: ∵ …… 5分
, ∴.… 6分
∴數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.
∴數(shù)列的通項公式為.………… 7分
(3)證法1:由(2)知,∵,
∴. … 8分∴N,且
∴N,且.… 9分當(dāng)且N時,
…… 10分
…… 11分 .
∴. … 12分∵,∴當(dāng)時,.… 13分
∴當(dāng)時,. 14分
………… 12分
右邊.……… 13 ∴時,不等式也成立.
由①②知,當(dāng)時,成立.………… 14分
證法3:由(2)知,故對,有
.… 8分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2016屆四川省高一12月月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)的定義域為,且為偶函數(shù),則實數(shù)的值可以是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆云南省高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)的定義域為, 且奇函數(shù).當(dāng)時, =--1,那么函數(shù),當(dāng)時,的遞減區(qū)間是 ( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆云南省高二上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)的定義域為, 且奇函數(shù).當(dāng)時, =--1,那么函數(shù),當(dāng)時, 的遞減區(qū)間是 ( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆山東省日照市高三上學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)的定義域為,且為偶函數(shù),則實數(shù)的值可以是( 。
A. B. C. D.
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