Question

如圖，在正三棱錐P-ABC中，M、N分別是側(cè)棱PB、PC的中點(diǎn)，若截面AMN⊥側(cè)面PBC，則此三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值是．

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：如圖，設(shè)D為BC中點(diǎn)，則 PD⊥BC，PD⊥MN，垂足為E，E為MN中點(diǎn)．又面AMN⊥面PBC，則 PE⊥面AMN，PE⊥AE．設(shè)底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為a，通過(guò)解三角形的方法，解得a=，設(shè)O為底面△ABC中心，連接OB，則∠PBO為三棱錐的側(cè)棱PB與底面所成角，在△POB中求出 tan∠PBO．
解答：解：如圖，設(shè)D為BC中點(diǎn)，則 PD⊥BC，PD⊥MN，垂足為E，E為MN中點(diǎn)．又面AMN⊥面PBC，則 PE⊥面AMN，PE⊥AE．
設(shè)底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為a，在△PBC中，PD²=a²-1，PE²=PD²=，ME=MN=．
在△PAB中，由余弦定理，cos∠APB==，代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得=，AM²=，
在△PAE中，由勾股定理，得出 PA²=AE²+PE²=AM²-ME²+PE²，即a²=-+，解得a²=3，a=
設(shè)O為底面△ABC中心，連接OB，則∠PBO為三棱錐的側(cè)棱PB與底面所成角，
在△POB中，BO=，由勾股定理，PO²=PB²-BO²=，PO=，所以tan∠PBO==，
三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值是．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面角的計(jì)算，線面垂直，面面垂直的定義，性質(zhì)、判定，考查了空間想象能力、計(jì)算能力，分析解決問(wèn)題能力．空間問(wèn)題平面化是解決空間幾何體問(wèn)題最主要的思想方法．