Question

設(shè)分別是橢圓的左，右焦點.

（1）若是橢圓在第一象限上一點，且，求點坐標(biāo)；

（2）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同兩點，且為銳角（其中為原點），求直線的斜率的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，求點坐標(biāo),即要構(gòu)建關(guān)于的兩個方程，第一個方程可根據(jù)點在曲線上，點的坐標(biāo)必須適合曲線的方程得到，即有，第二個方程可由通過坐標(biāo)化得到，即有，聯(lián)立方程組，可解得點坐標(biāo)；（2）求直線的斜率的取值范圍，即要構(gòu)建關(guān)于的不等式，可通過為銳角，轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，解出的取值范圍.注意不要忽略，這是解析幾何中常犯的錯誤.

試題解析：（1）依題意有，所以，設(shè)，則由得：，即，又，解得，因為是橢圓在第一象限上一點，所以.

（2）設(shè)直線與橢圓交于不同兩點的坐標(biāo)為、，

將直線：代入，整理得： （），

則，，

因為為銳角，所以，從而

整理得：，即，解得，

且（）方程必須滿足：，解得，

因此有，所以直線的斜率的取值范圍為.

考點：1.直線與橢圓的位置關(guān)系；2.方程與不等式思想，3.設(shè)而不求的思想與等價轉(zhuǎn)化思想.