Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=2f（

1

x

），當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=lnx在區(qū)間[

1

3

，3]上，函數(shù)g（x）=f（x）-ax（a＞0）恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合a≤k_OA=6ln3，當(dāng)直線與曲線f（x）=lnx相切時(shí)，可解得k=

1

e

；進(jìn)而求出a的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)x∈[

1

3

，1]時(shí)，

1

x

∈[1，3]，
則f（x）=2f（

1

x

）=2ln

1

x

=-2lnx．
在坐標(biāo)系內(nèi)畫出分段函數(shù)圖象：
由題意可知：a≤k_OA=6ln3，
當(dāng)直線與曲線f（x）=lnx相切時(shí)，
解得k=

1

e

；所以a的取值范圍是

1

e

＜a≤6ln3．
故答案為：

1

e

＜a≤6ln3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，屬于基礎(chǔ)題．