二面角α-EF-β的大小為120°,A是它內(nèi)部的一點AB⊥α,AC⊥β,B,C分別為垂足.
(1)求證:平面ABC⊥β;
(2)當(dāng)AB=4cm,AC=6cm,求BC的長及A到EF的距離.

【答案】分析:(1)根據(jù)AB⊥α,EF?α,可知EF⊥AB,同理EF⊥AC,AB,AC是兩條相交直線,從而EF⊥平面ABC,故平面ABC⊥平面β.
(2)設(shè)平面ABC與EF交于點D易證,∠BDC是二面角α-EF-β的平面角,在△ABC中,∠BAC=60°,AB=4 cm,AC=6 cm時,故可求BC,AD是A到EF的距離,利用正弦定理,可求AD的長.
解答:解:(1)∵AB⊥α,EF?α,∴EF⊥AB,
同理EF⊥AC,AB,AC是兩條相交直線,
∴EF⊥平面ABC,
∵EF?β,∴平面ABC⊥平面β.
(2)設(shè)平面ABC與EF交于點D,連接BD,CD,則BD,CD?平面ABC,∵EF⊥平面ABC,∴EF⊥BC,EF⊥DC,∠BDC是二面角α-EF-β的平面角,∠BCD=120°,A,B,C,D在同一平面內(nèi),且∠ABD=∠ACD=90°,
∴∠BAC=60°,當(dāng)AB=4 cm,AC=6 cm時,
BC=
又∵A,B,C,D共圓,∵AD是直徑.∵EF⊥平面ABC,AD?平面ABC,
∴AD⊥EF,即AD是A到EF的距離,由正弦定理,得AD==(cm)
點評:本題以二面角為載體,流程面面垂直,考查點線距離,關(guān)鍵是利用面面垂直的判定定理.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F(xiàn),G,H分別是線段PA,PD,CD,AB的中點.
(Ⅰ)求證:PB∥平面EFGH;
(Ⅱ)求二面角C-EF-G的余弦值.

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精英家教網(wǎng)如圖,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是AB和BC的中點,EF與BD相交于點H,M為BB1中點.
①求二面角B1-EF-B的大;
②求證:D1M⊥平面B1EF;
③求點D1到平面B1EF的距離.

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(2013•廣元二模)如圖,在五面體EF-ABCD中,四邊形ADEF是正方形,F(xiàn)A⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=l,AD=2
2
,∠BAD=∠CDA=45°.
①證明:CD⊥平面ABF;
②求二面角B-EF-A的正切值.

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如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD-中,點E是棱BC的中點,點F是棱CD上的動點.

(1)試確定點F的位置,使E⊥平面AF;

(2)當(dāng)E⊥平面AF時,求二面角-EF-A的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

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如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD-中,點E是棱BC的中點,點F是棱CD上的動點.

(1)試確定點F的位置,使E⊥平面AF;

(2)當(dāng)E⊥平面AF時,求二面角-EF-A的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

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