Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)對于任意（），都有式子成立（其中為常數(shù)）．

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）利用函數(shù)構(gòu)造一個數(shù)列，方法如下：

對于給定的定義域中的，令，，…，，…

在上述構(gòu)造過程中，如果（=1，2，3，…）在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；如果不在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過程就停止.

（ⅰ）如果可以用上述方法構(gòu)造出一個常數(shù)列，求的取值范圍；

（ⅱ）是否存在一個實數(shù)，使得取定義域中的任一值作為，都可用上述方法構(gòu)造出一個無窮數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（ⅲ）當(dāng)時，若，求數(shù)列的通項公式．

Answer 1

解析:

解：（Ⅰ）令（），則，而，

故=，

        ∴ =（）．         ………………………………3分

（Ⅱ）（ⅰ）根據(jù)題意，只需當(dāng)時，方程有解，    ………………4分

亦即方程  有不等于的解．

        將代入方程左邊，左邊為1，與右邊不相等．故方程不可能有解．

………………5分

        由 △=，得 或，

即實數(shù)a的取值范圍是．       …………………………7分

（ⅱ）假設(shè)存在一個實數(shù)，使得取定義域中的任一值作為x₁，都可以用上述方法構(gòu)造出一個無窮數(shù)列，那么根據(jù)題意可知，=在R中無解，

……………8分

亦即當(dāng)時，方程無實數(shù)解．

由于不是方程的解，

所以對于任意x∈R，方程無實數(shù)解，

因此解得．

∴ 即為所求的值．         ……………………………………11分

    （ⅲ）當(dāng)時，，所以，．

兩邊取倒數(shù)，得，即．

所以數(shù)列{}是首項為，公差的等差數(shù)列．

故，所以，，

即數(shù)列的通項公式為． ……………………………………14分