Question

【題目】如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是等腰三角形，∠CAD=120°，AD=DE=2AB．
（I）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（II）求平面BCE與平面ADEB所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：取CD的中點F，EC的中點P，連接BP，PF，
∴PF∥ED，PF= ，
由已知得，AB∥DE，AB= DE，
∴AB∥PF，AB=PF，則四邊形ABPF為平行四邊形，得BP∥AF，
∵AB∥DE，AB⊥平面ACD，∴DE⊥平面ACD，
又AF平面ACD，∴AF⊥ED．
又△ACD是等腰三角形，F(xiàn)是CD的中點，∴AF⊥CD．
∴BP⊥DE，BP⊥CD，又DE∩CD=D，∴BP⊥平面CDE．
又BP平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅱ）解：以F為坐標(biāo)原點，分別以FD、FA、FP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AD=2，∵∠CAD=120°，∴CD= ，
則C（ ，0，0），D（ ，0，0），A（0，1，0），B（0，1，1），E（ ，0，2）．
∴ ，
設(shè)平面BCE的一個法向量為 ，
則 ，取x=1，得 ．
又 ， ．
設(shè)平面ADEB的一個法向量 ，
則 ，令x=1，得 ．
設(shè)平面BCE與平面ADEB所成的銳角為θ，
則cosθ=|cos＜ ＞|= ．
【解析】（Ⅰ）取CD的中點F，EC的中點P，連接BP，PF，由已知結(jié)合三角形中位線定理可得四邊形ABPF為平行四邊形，得BP∥AF，進一步求得DE⊥平面ACD，得到AF⊥ED．再由△ACD是等腰三角形，F(xiàn)是CD的中點，得到AF⊥CD．由線面垂直的判定可得BP⊥平面CDE．則平面BCE⊥平面CDE；（Ⅱ）以F為坐標(biāo)原點，分別以FD、FA、FP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知求出所用點的坐標(biāo)，得到平面BCE與平面ADEB的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面BCE與平面ADEB所成銳二面角的余弦值．
【考點精析】利用平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．