Question

（2012•安徽模擬）已知函數(shù)f（x）=x²+bx+2．
（I）若當(dāng)x∈[-1，4]時(shí)，f（x）≥b+3恒成立，求f（x）；
（II）若函數(shù)f（x）的定義域與值域都是[0，2]，求b的值．

Answer 1

分析：（I）由于f（1）=b+3，即當(dāng)x∈[-1，4]時(shí)，f（x）≥f（1）恒成立，故函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸為x=1，由此可得函數(shù)的解析式；
（II）由于f（0）=2，所以b＜0，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-

b

2

＞0，利用函數(shù)f（x）的定義域與值域都是[0，2]，建立不等式，即可求b的值．

解答：解：（I）由于f（1）=b+3，即當(dāng)x∈[-1，4]時(shí)，f（x）≥f（1）恒成立，
故函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸為x=1，
∴-

b

2

=1
∴b=-2
∴f（x）=x²-2x+2；
（II）由于f（0）=2，所以b＜0，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-

b

2

＞0
∵函數(shù)f（x）的定義域與值域都是[0，2]，
∴

f(2)=6+2b=0 - b 2 ≥2

或

△=b2-8=0 2＞- b 2 ＞0 f(2)=6+2b≤2

∴b=-2

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的定義域與值域，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的對(duì)稱軸，建立不等關(guān)系，屬于中檔題．