已知函數(shù)f(x)=x2-(-1)k·2lnx(k∈N*).

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(Ⅱ)k是偶數(shù)時,正項數(shù)列{an}滿足a1=1,f′(an)=,求an的通項公式;

(Ⅲ)k是奇數(shù),x>0,n∈N*時,求證:[f′(x)]n-2n-1·f′(xn)≥2n(2n-2).

答案:解:(Ⅰ)由已知得x>0,而f′(x)=2x-(-1)k·.

當k是奇數(shù)時,則f′(x)>0,則f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);

當k是偶數(shù)時,則f′(x)=2x,

所以當x∈(0,1)時,f′(x)<0;

當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0.

故當k是偶數(shù)時,f(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù).

(Ⅱ)由已知得2an,

所以{}是以2為首項,公比為2的等比數(shù)列,

故an=.

(Ⅲ)由已知得f′(x)=2x+(x>0),

所以左邊[f′(x)]n-2n-1·f′(xn)=(2x+)n-2n-1·(2xn+)

=2n()

右倒序相加法得:2S=(xn-2+)+(xn-4+)+…+(+xn-2)

≥2()=2(2n-2),

所以S≥(2n-2).

所以[f′(x)]n-2n-1·f′(xn)≥2n(2n-2)成立.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請求出a的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說法正確的是( )
A.f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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