Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=

2

，PB=3，E為CD上一點，EC=3，DE=1．
（1）證明：BE⊥平面PBC；
（2）求三棱錐B-PAC的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由公演股定理得BE⊥BC，由線面垂直得PB⊥BE，由此能證明BE⊥平面PBC．
（2）由V_B-PAC=V_P-ABC，利用等積法能求出三棱錐B-PAC的體積．

解答： （本小題滿分14分）
（1）證明：過B作CD的垂線交CD于F，則BF=AD=

2

，EF=AB-DE=1，F(xiàn)C=2
在Rt△BFE中，BE=

EF2+BF2

=

3

，
在Rt△BFC中，BD=

FC2+BF2

=

6

．
在△BCE中，∵BE²+BC²=BC²，∴BE⊥BC，
∵PB⊥底面ABCD，BE?平面ABCD，∴PB⊥BE，
又PB∩BC=B∴BE⊥平面PBC．…（8分）
（2）解：∵AB∥CD，AD⊥AB，∴四邊形ABCD是梯形，
∴S_梯形ABCD=

1

2

×(2+4)×

2

=3

2

，S△ADC=

1

2

×4×

2

=2

2

，
∴S_△ABC=S_梯形ABCD-S_△ADC=3

2

-2

2

=

2

．
∴V_B-PAC=V_P-ABC=

1

3

S△ABC•PB=

1

3

×

2

×3=

2

．…（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．