Question

如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AB=AD=1，點(diǎn)M是CC₁的中點(diǎn)，
①求證：平面ABM⊥平面A₁B₁M；
②求直線BD與平面ABM所成角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件，先證明BM⊥平面A₁B₁M，再由BM?平面ABM，證明出平面ABM⊥平面A₁B₁M．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，以AB為x軸，以A為y軸，以AA₁為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出向量

BD

和平面ABM的法向量，由此利用向量法能求出直線BD與平面ABM所成角．

解答： （Ⅰ）證明：由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BM?平面BCC₁B₁，得A₁B₁⊥BM，①
∵A₁B₁⊥平面BCC₁B，∴∠A₁B₁M=90°，
而A₁B₁=1，B1M=

B1C12+MC12

=

2

，
又BM=

BC2+CM2

=

2

，B₁B=2，
∴B₁M²+BM²=B₁B²，從而BM⊥B₁M，
又A₁B₁∩B₁M=B₁，再由①，②得BM⊥平面A₁B₁M，
而BM?平面ABM，
∴平面ABM⊥平面A₁B₁M．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，以AB為x軸，以A為y軸，以AA₁為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
∵在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，
AB=AD=1，點(diǎn)M是CC₁的中點(diǎn)，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），M（1，1，1），D（0，1，0），
∴

AB

=(1，0，0)，

AM

=（1，1，1），

BD

=(-1，1，0)，
設(shè)平面ABM的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n

•

AB

=0，

n

•

AM

=0，
∴

x=0 x+y+z=0

，∴

n

=（0，1，-1），
設(shè)直線BD與平面ABM所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

BD

，

n

＞|=|

0+1+0

2 • 2

|=

1

2

，
∴θ=30°，
∴直線BD與平面ABM所成角為30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成的角的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運(yùn)用．