在平面直角坐標系中，橢圓為

（1）若一直線與橢圓交于兩不同點，且線段恰以點為中點，求直線的方程；

（2）若過點的直線（非軸）與橢圓相交于兩個不同點試問在軸上是否存在定點，使恒為定值？若存在，求出點的坐標及實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.

 

【答案】

（1）；（2）在軸上存在定點，使恒為定值。

【解析】本試題主要是考查了直線與圓的位置關(guān)系綜合運用。

（1）點在橢圓內(nèi)部，直線與橢圓必有公共點

再利用點差法得到中點坐標與直線斜率的關(guān)系式，

（2）假定存在定點，使恒為定值

由于直線不可能為軸

于是可設(shè)直線的方程為且設(shè)點

將代入得到一元二次方程，進而利用向量的關(guān)系得到參數(shù)的值。

解：（1）點在橢圓內(nèi)部，直線與橢圓必有公共點

設(shè)點，由已知，則有

兩式相減，得

而直線的斜率為

直線的方程為

（2） 假定存在定點，使恒為定值

由于直線不可能為軸

于是可設(shè)直線的方程為且設(shè)點

將代入得

.

顯然

，

則

若存在定點使為定值（與值無關(guān)），則必有

在軸上存在定點，使恒為定值

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點，則MN的中點P在平面直角坐標系中的坐標為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設(shè)α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號）．
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當且僅當l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，下列函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱的是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，以點（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點，若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點，則r=
 
．

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